Soru

  
Dünya'nın içine girildikçe yerçekimi ivmesi neden azalır?(Merve Dalar)
              

 Cevap

 
Kalınlığı dr olan, ince bir küresel kabuk alalım. Kabuğun kütlesel yoğunluğu, birim alanı başına ρ olsun. Kabuğun içinde kalan hacimdeki herhangi bir X noktasına,kütlesi m_X olan bir cisim koyalım. Bu noktadan kabuğa zıt yönlerde küçük (diferansiyel) birer katı açı uzatalım (dω). Bu katı açının A noktası civarında kapsadığı kabuk alanı |XA|²dω, B noktası etrafında kapsadığı kabuk alanı ise |XB|²dω olur. Dolayısıyla, bu alanlara sahip olan kabuk parçalarının kütleleri M_A=ρ|XA|²dω, M_B=ρ|XA|²dω kadardır. Dikkat edilecek olursa, M_A ve M_B kütlelerinin X noktasındaki m_X kütlesine etki ettirdikleri kuvvetler zıt yönlerdedir. Kütleçekimi yasası uzaklığın karesiyle ters orantılı olduğundan, bu kuvvetlerin büyüklükleri; F_A=G.M_A.m_X/|XA|² ve F_B=G.M_B.m_X/|XB|² olur. Bu ifadelere M_A= ρ|XA|²dω ve M_B=ρ|XA|²dω eşitliklerini yerleştirecek olursak; F_A=G.ρ|XA|²dω.m_X/|XA|² =G.ρ.dω.m_X ve F_B=G.ρ|XB|²dω.m_X/|XB|² =G.ρ.dω.m_X elde ederiz. Yani F_A=F_B. Öte yandan, kuvvetler zıt yönlü olduklarından, birbirlerini iptal ederler. Bu durum, X noktasından küresel kabuğa zıt yönlerde uzanan tüm minik katı açı çiftleri için geçerli olduğundan, sonuç olarak; X noktasındaki m_X kütlesine kabuğun tümü tarafından etki ettirilen kütleçekimi kuvveti, net olarak sıfırdır. Kabuğun kalın olması bu sonucu değiştirmez. Çünkü kalın bir kabuk, bizim ele aldığımız gibi ince kabukların içiçe diziliminden oluşur.
 

Kısacası, küresel bir kütle kabuğunun içindeki bir cismin üzerindeki kütleçekimi kuvveti sıfırdır. Bu, kütleçekimi kuvvetinin uzaklığın karesiyle ters orantılı olmasından kaynaklanan bir durum. Dolayısıyla, aynı şekilde davranan elektrostatik kuvvet için de geçerli. Bu yüzdendir ki, metal bir kürenin yüzeyinde yük varken, içinde elektrik alan bulunamıyor ve böyle bir koruyucu metal küreye ‘Faraday kafesi’ diyoruz. Neyse...

Sorunuzun yanıtına gelecek olursak; Dünya’nın yarıçapını R, kütlesini M ile gösterelim. Yeryüzündeki m kütleli bir cisme etki ettirdiği kuvvet, F=GMm/R² olur. Biz buradaki GM/R² çarpanını, genellikle g ile gösteriyoruz. O halde, F=mg. Bir başka gösterim biçimine daha bakalım...

Gerçi Dünya’nın yoğunluğu her yerde aynı değil. Daha yoğun olan kütleler, merkezine doğru çökmüş halde. Fakat biz yoğunluğu sabit varsayıp, ρ ile gösterecek olursak, Dünya’nın kütlesi; M=(4/3)πR³.ρ olur. O halde, F=GMm/R²= G(4/3)πR³.ρm/R² =(4πGρR/3).m. Yani, F=mg’den, g=(4πGρR/3).

Şimdi bu m kütleli cismin yeraltında, Dünya’nın merkezinden r (< R) uzaklıkta bir derinlikte olduğunu düşünelim. Cismin dışında kalan, R-r kalınlığındaki kütle kabuğunun, cisim üzerinde etki ettirdiği kütleçekim kuvveti net olarak sıfırdır. Dolayısıyla, cisim sadece, altında kalan r yarıçapındaki kürenin çekim kuvvetinin etkisi altındadır. Bu r yarıçaplı kürenin kütlesi; M’=(4/3)πr³.ρ olur. O halde, m kütleli cismimizin üzerine; F’=GM’m/r²= G(4/3)πr³.ρ.m/r² =(4πGρr/3).m büyüklüğünde bir kütleçekimi kuvveti etki ettirir. Yani, F’=mg’ olduğuna göre; g’=(4πGρr/3).

Kısacası, ivmelerin oranı g’/g=r/R. Derine inildikçe azalmasının nedeni, dışta kalan küresel kabuğun katkısının sıfır olması.

Vural Altın

İlave Bilgi

Belirli bir yükseklikten serbest bırakılan bir cisim Yer’ e düştüğüne göre, Yer’ in bu cisme bir kuvvet uygulaması gerekir. Bu kuvvete “yerçekimi kuvveti” denir. Bir cismin ağırlığı , o cisme etki eden yerçekimi kuvvetidir (G = mg ) . O halde ağırlık da bir kuvvettir.

Dünya ile dünyada bulunan cisimler birbirlerine çekim kuvveti uygular. Ancak dünyanın kütlesi, cisminkine göre çok büyük olduğundan, dünya bu çekimden etkilenmez. Dünyanın çekim alanı enlemlere göre değişir. Bu yüzden herhangi bir cismin ağırlığı, ekvatordan kutuplara doğru gittikçe artar.

Yerçekimi kuvvetinin doğrultusu düşey, yönü Yer’in merkezine doğrudur. İngiliz bilgini “Isaac Newton “ bir gün elma ağacının altında otururken bir elmanın yere düştüğünü görür. Bu olay daha sonra kendi adıyla anılan “Newton Genel Çekim kanununu” bulmasına ışık tutmuştur.

Bu kanuna göre;” bütün kütleler birbirini çeker. Bu çekme kuvveti cisimlerin kütle büyüklüklerine ve aralarındaki uzaklığa bağlıdır.”

Örneğin yer elmayı çeker, elma da yeri çeker. Ancak yerin kütlesi elmanın kütlesinden büyük olduğu için, elmaya uyguladığı çekim kuvveti de o kadar büyüktür. Bu nedenle elma yere doğru düşer.

Kaynak: Tübitak Bilim ve Teknik Dergisi